Opravdu existují čísla? Filosofie, historie a formální konstrukce

Zahájení » kultura » Opravdu existují čísla? Filosofie, historie a formální konstrukce

Když používáme čísla k určení času, placení v supermarketu nebo kontrole zůstatku na účtu, bereme je jako samozřejmost, jako by byla stejně skutečná jako klíče od domu. Ale když se nad tím pečlivě zamyslíme, věci se zkomplikují: V jakém smyslu čísla skutečně „existují“?Jsou to něco, co objevíme, jako planety, nebo něco, co si vymyslíme, jako postavy v románu?

Tato debata propojuje filozofii, historii a matematiku poměrně fascinujícím způsobem. V průběhu staletí se objevily různé odpovědi: od těch, kteří věří, že čísla jsou součástí jakéhosi „abstraktního světa“ nezávislého na nás, až po ty, kteří tvrdí, že nejsou ničím víc než symbolické nástroje, které jsme vytvořili pro počítání, měření a uvažování. Cestou se objevují myšlenky jako Peanovy axiomy, teorie množin, formální konstrukce přirozených, celočíselných, racionálních, iracionálních a reálných čísel a dokonce i slavná omezení objevená Gödelem.

Co znamená, že číslo „existuje“?

Než se ponoříme do vzorců a axiomů, je vhodné si ujasnit, co proboha rozumíme pod pojmem „existence“. Existence stolu není totéž co existence Sherlocka Holmese nebo existence... číslo jako 24Stůl je fyzický objekt; Holmes je fiktivní, ale dobře definovaná postava; číslo 24 naopak nezabírá žádné místo, nic neváží a nelze jej uložit do zásuvky.

Jeden způsob, jak se k této problematice přiblížit, pochází od Platóna a tvrdí, že čísla jsou abstraktní entity, které žijí v nefyzické doméněNejsou tvořeny hmotou, ale jsou stejně „skutečné“ jako spravedlnost nebo krása v platónské filozofii. Z tohoto pohledu matematici čísla nevymýšlejí, ale spíše je objevují: číslo 24 „tam“ bylo, i když na něj nikdo nepomyslel.

Jiní filozofové a matematici tvrdí něco jiného: čísla by spíše symboly a konceptuální konstrukce, které vyvíjíme modelovat svět. Neexistovaly by mimo naše teorie a konvence, i když jakmile by tato pravidla byla stanovena, matematické výsledky by byly tak rigidní, jak bychom si přáli. V tomto přístupu je 24 výsledkem systému symbolů a operací, na kterém jsme se dohodli, nikoli součástí nezávislého matematického vesmíru.

Existují také zajímavé přechodné návrhy: někteří autoři tvrdí, že číslo je druh abstraktní objekt se zvláštní vlastností, že „kdyby mohl existovat, existoval by“Jinými slovy, pojem stačí, aby byl možný a dobře definovaný, aby měl určitý druh logické nebo matematické existence. Tento způsob vyjádření nám umožňuje zahrnout nejen čísla, ale také množiny, plochy, funkce, geometrické obrazce a mnoho dalších entit, které denně používáme v matematice.

Z obou těchto úhlů pohledu je základní problém podobný: Jak se liší existence čísla od existence fiktivní postavy?Každý ví, co je číslo 5, a každý ví, kdo je Sherlock Holmes, ale nepřipisujeme jim stejnou realitu. Diskuse, která zdaleka není uzavřená, obvykle vyvolává více otázek, než odpovídá.

Čísla, symboly a význam: co je vlastně „2“?

Pokud se zbavíme toho, co považujeme za samozřejmost, a podíváme se na čísla objektivně, první věc, kterou uvidíme, je psané symboly nebo zvuky při výslovnosti„2“, které píšeme na papír, „dvě“, které říkáme nahlas, nebo římské „II“ nejsou samotné číslo, ale jeho reprezentace.

Symbol sám o sobě je jednoduchý tah nebo zvuk bez obsahu. Význam mu dává kolektivní dohoda: Rozhodli jsme se, že tento tah představuje množství, řád, míruStejně jako písmena abecedy, která sama o sobě nic neznamenají, ale v kombinaci tvoří slova, která si spojujeme s myšlenkami, věcmi nebo činy.

Tato symbolická perspektiva odhaluje něco důležitého: Na konkrétní formě čísel není nic „magického“Mohli bychom používat zcela odlišné symboly a pokud bychom se shodli na stejných pravidlech a významech, matematika by stále fungovala. Ve skutečnosti v průběhu dějin existovalo mnoho číselných soustav s naprosto odlišnými symboly a pravidly, a přesto všechny sloužily k počítání, měření a výpočtům.

Každodenní používání čísel však jde daleko za hranice pouhého zápisu: Síla čísel se projeví, když s nimi pracujeme.Sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování… Všechny tyto operace nám umožňují modelovat reálné jevy: od dělení dortu přes návrh GPS navigačního systému až po výpočet dávky vakcíny.

Právě proto, že matematika je základem téměř veškeré moderní technologie, byli matematici nuceni, zejména od 19. století, s maximální přesností definovat, co chápou pod pojmem „číslo“Nestačilo jednoduše říct „to je to, co používáme k počítání“; byla zapotřebí formální definice, aby se předešlo rozporům a umožnilo se s jistotou vybudovat celou teorii.

Existují nekonečná čísla, nebo ani to není tak jasné?

Jednou z nejzáludnějších otázek při diskusi o existenci čísel je... téma nekonečnaJsme zvyklí říkat, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel: 0, 1, 2, 3… a tak dále. Pokud to ale přijmeme, vyvstanou některé kuriózní otázky.

Například: pokud přemýšlíme o „množině všech čísel“ a chceme si jedno vybrat „náhodně“, jaká je pravděpodobnost, že padne 5? Intuitivně bychom mohli říct něco jako 1 děleno nekonečnem, což by se zdálo jako nulaA pokud je pravděpodobnost nulová, mohl by být člověk v pokušení říci, že se 5 v dané množině „neobjevuje“, což zní absurdně, protože 5 tam evidentně je.

Tento typ uvažování ilustruje střet mezi každodenními intuicemi o nekonečnu a rigorózní způsob, jakým se v matematice zachází s pravděpodobností a nekonečnými množinamiV teorii míry a pravděpodobnosti neznamená něco, co má nulovou pravděpodobnost, že je to nemožné; jednoduše to naznačuje, že v rámci nekonečného kontinua je jeho „váha“ zanedbatelná. Jinými slovy, myšlenka, že „nulová pravděpodobnost = neexistuje“, není v matematice správná.

Z toho vyplývá další, filozofičtější návrh: čísla možná nejsou „daná“ jako úplné nekonečno, ale spíše Vytváříme je krok za krokem, postupujeme bez omezení, ale aniž bychom dosáhli konečného nekonečna.Jinými slovy, čísla by byla potenciálně nekonečná (můžeme stále přidávat 1), ale neexistoval by „součet“ všech z nich jako něco uzavřeného.

Tato pozice souvisí s představou přirozených čísel jako objektů, které jsou konstruovány posloupností (0, pak její nástupce, pak nástupce nástupce atd.), což nás vede ke slavnému Peanovy axiomy teorie množin jako formální základ moderní matematiky.

Z ničeho do nuly: množiny, prázdný prostor a přirozená čísla

Pro přesnou konstrukci přirozených čísel se mnoho matematiků 19. století spoléhalo na společný jazyk: Teorie množinMyšlenka je na první pohled jednoduchá: pracujeme s „množinami“ (kolekcemi) a „prvky“ (co do těchto kolekcí patří) a uvádíme několik základních axiomů o tom, jak se chovají.

Jedním ze základních axiomů je axiom rozšíření: Dvě množiny jsou si rovny, pokud mají přesně stejné prvkyDalší, specifikace, nám umožňuje vytvářet podmnožiny z podmínky: pro danou množinu A a vlastnost T existuje množina všech prvků A, které splňují T.

S těmito nástroji můžeme definovat něco klíčového: prázdná množina, což je množina, která nemá žádné prvky. Lze ji prezentovat jako množinu všech x v A takových, že x ≠ x (nemožná podmínka), takže do tohoto klubu nikdo nevstoupí. Tato množina se obvykle nazývá 0 a stává se základním kamenem formální konstrukce přirozených čísel.

Odtud můžeme první čísla „pojmenovat“ jako určité množiny: prázdnou množinu nazýváme 0, množinu obsahující pouze 0 nazýváme 1, množinu obsahující jak 0, tak 1 nazýváme 2 atd. Každé číslo je konstruováno jako množina, která shromažďuje ke všem výše uvedeným číslůmTento způsob kódování přirozených čísel (podobný Fregeho návrhu a později von Neumannovu) umožňuje vztáhnout pořadí „menší než“ k zahrnutí množin.

Abychom mohli pokračovat, potřebujeme axiom sjednocení: pro danou kolekci množin existuje množina obsahující všechny prvky, které patří alespoň do jedné z nich. A také definujeme nástupce množiny A protože A+ = A ∪ {A}. To znamená, že přidáváme samotnou množinu jako nový prvek, což nám umožňuje postupovat „výše“ číslo po čísle.

Tím se zavádí koncept sada nástupcůMnožina S je následníckou množinou, pokud obsahuje 0 a kdykoli obsahuje prvek A, obsahuje také jeho následníka A+. Klíčový axiom říká, že existuje alespoň jedna následnícká množina. Pokud vezmeme průnik všech možných následníckých množin, získáme nejmenší množinu, která je všechny obsahuje: právě tam je množina následníků „vnořena“. přirozená čísla, ℕ.

Peanovy axiomy: zajištění toho, aby 1 + 1 = 2, není tak triviální

Jakmile identifikujeme ℕ jako minimální množinu obsahující 0 a stabilní posloupností, můžeme studovat její vlastnosti. Giuseppe Peano formuloval na konci 19. století velmi kompaktní seznam axiomů, který zachycuje podstata chování přirozených čísel.

V typické verzi, počínaje od 1 místo od 0, Peanovy axiomy obecně uvádějí následující: za prvé, 1 je přirozené čísloZa druhé, každé přirozené číslo má nástupce, který je také přirozeným číslem. Za třetí, žádné přirozené číslo nemá jako nástupce 1 (nebo, v jiné formulaci, 0 není nástupcem žádného přirozeného čísla). Za čtvrté, pokud množina přirozených čísel obsahuje 1 a je uzavřena posloupností, pak obsahuje všechna přirozená čísla: toto je princip indukceZa páté, pokud dvě čísla mají stejného nástupce, pak jsou si tato dvě čísla shodná.

Tyto axiomy, ačkoli se zdají formální a poněkud suché, zahrnují myšlenky, které jsme nevědomky používali od dětství. Například indukce nám umožňuje dokázat vlastnosti typu „všechna přirozená čísla splňují X“ tím, že dokážeme, že X platí pro první z nich A pokud to platí pro jedno číslo, pak to platí i pro jeho následníka. Je to jakýsi logický dominový efekt.

Z těchto axiomů se odvozují základní vlastnosti přirozených čísel, jako například Neexistuje žádné číslo, jehož nástupcem je 0.nebo že operace „následníka“ je injektivní (pokud dvě čísla mají stejného nástupce, jsou to stejná čísla). Umožňují nám také charakterizovat ℕ jako jedinou množinu, která splňuje určité kombinované podmínky nástupnictví a indukce.

Nejzajímavější je, že vycházeje z tohoto logického rámce a pojmu nástupce, lze důsledně konstruovat obvyklé aritmetické operacesčítání, násobení a mocniny a demonstrovat jejich klasické vlastnosti (komutativita, asociativita, existence neutrálních prvků atd.) bez odvolání se na fakt, že „intuitivně to tak je“.

Jak sestrojit součet, součin a mocniny nad ℕ

Jakmile přijmeme Peanovy axiomy a budeme mít množinu ℕ dobře definovanou, můžeme se sami sebe zeptat: jak přesně definujeme operace jako sčítání, aniž bychom je považovali za samozřejmost? K tomu používáme velmi mocný nástroj: Věta o rekurenci, což zaručuje existenci a jedinečnost určitých funkcí definovaných krok za krokem na přirozených číslech.

Myšlenka je následující: pokud máme množinu X, počáteční prvek a v X a funkci f: X → X, věta zajišťuje, že existuje jedinečná funkce u: ℕ → X taková, že u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) pro všechna přirozená čísla n. To znamená, že u můžeme konstruovat opakovaným použitím f, počínaje od a, a nebudou existovat dva odlišné způsoby, jak to udělat, které by respektovaly tuto definici.

Aplikací této myšlenky na přirozená čísla můžeme definovat součet pevného čísla m s libovolným n. Vezměme X = ℕ, a = m a funkci s: ℕ → ℕ, která zobrazuje každé na na jeho následníka n+. Rekurentní věta nám pak dává funkci S_m: ℕ → ℕ, kde S_m(0) = m a S_m(n+) = s(S_m(n)). Tuto funkci interpretujeme jako součet m + nTo znamená, že definujeme S_m(n) = m + n.

S touto formální definicí se něco tak běžného jako 1 + 1 stává malým řetězcem aplikací: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Nejde o to, že by matematici nevěděli, že 1 + 1 se rovná 2, ale o to, že chtějí zdůvodnit, proč je v rámci axiomatického systému tato rovnost nevyhnutelná.

Z této definice lze dokázat vlastnosti, jako například to, že 0 funguje jako jednotkový prvek pro sčítání (m + 0 = my, 0 + m = m pro všechna m), že sčítání je komutativní (a + b = b + a) a to je také asociativní ((a + b) + c = a + (b + c)). Všechny tyto důkazy se opírají o princip indukce a chování následníka.

Součin je definován podobně. Zafixujeme číslo m, vezmeme funkci P_m: ℕ → ℕ takovou, že P_m(0) = 0 a P_m(n+) = S_m(P_m(n)). P_m(n) interpretujeme jako m × nNapříklad 1 × 2 je rozloženo jako P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Poté, opět pomocí indukce, jsou demonstrovány jeho vlastnosti: komutativita, asociativita a to, že 1 je jednotkový prvek součinu.

Mocniny se konstruují dalším krokem: definujeme E_m: ℕ → ℕ, kde E_m(0) = 1 a E_m(n+) = P_m(E_m(n)), a zapíšeme E_m(n) = m^n. Z této definice plynou identity jako například m^(n + k) = m^n × m^k, opět s pomocí principu indukce a již prokázaných vlastností produktu.

Celý tento proces, ačkoli formální a poněkud technický, ilustruje, že konstrukce elementární aritmetiky není „ve vzduchu“, ale je podepřena několik velmi jasných axiomů a hrstka logických argumentůZ tohoto pohledu „existence“ přirozených čísel znamená, že existuje model (například množiny konstruované z prázdné množiny), který tyto axiomy splňuje.

Od přirozených čísel k celým číslům, racionálním a iracionálním číslům

Jakmile jsou přirozená čísla pevně stanovena, příběh tím nekončí. Každodenní i vědecké problémy nás nutí rozšiřte tento numerický vesmírNapříklad u přirozených čísel umíme pouze počítat a sčítat, ale ne obecně odčítat nebo dělit.

Dalším krokem je obvykle představení celá čísla, které zahrnují přirozená čísla a jejich záporné verze: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Historicky zlomky existovaly před zápornými čísly, ale z formálního hlediska je vhodné začít s celými čísly. Celé číslo lze definovat jako třídu ekvivalence dvojic přirozených čísel (a, b), kde dva páry (a, b) a (c, d) považujeme za ekvivalentní, pokud a + d = b + c. Intuitivně to odpovídá úvahám o „odečíst“ od − b, ačkoli formálně toto odčítání v ℕ ještě neexistuje.

Pak racionální číslaTyto zlomky odpovídají zlomkům, které jsme vždy znali. Používají se k měření veličin, které nejsou celým číslem jednotek, jako je půlka dortu, třetina litru nebo tři čtvrtě hodiny. Racionální číslo se obvykle reprezentuje jako a/b, kde a a b jsou celá čísla a b ≠ 0. Formálně je každé racionální číslo definováno jako třída ekvivalence dvojic (a, b), kde b se nerovná nule, kde dvě dvojice (a, b) a (c, d) jsou ekvivalentní, pokud a·d = b·cTedy pokud představují stejný poměr.

Pythagorejci věřili, že „všechno je číslo“ ve smyslu „všechno je racionální“, ale tento názor byl vyvrácen, když se zjistilo, že úhlopříčku čtverce o délce strany 1 (druhá odmocnina ze 2) nelze zapsat jako zlomek celých čísel. Později se také ukázalo, že π a e jsou iracionální číslaTo znamená, že je nelze vyjádřit jako a/b s celými čísly a a b.

Pro důslednou konstrukci iracionální čísla Je to trochu delikátnější. Elegantní způsob, jak to udělat, je prostřednictvím volání. Dedekindovy řezyMyšlenkou je uvažovat určité podmnožiny racionálních čísel, které mají specifickou horní hranici. Můžeme například vzít množinu všech racionálních čísel, jejichž druhá mocnina je menší než 2; její přirozený „řez“ je √2, což není racionální. Tímto způsobem lze každý vhodný řez považovat za reálné číslo a některé z těchto řezů neodpovídají racionálním číslům.

Kombinací všech racionálních čísel a všech těchto řezů, které vedou k iracionálním číslům, sestrojíme množinu reálná čísla, ℝV ℝ žijí všechna čísla, která používáme k měření spojitých veličin: délky, plochy, časy, rychlosti atd. V reálných číslech jsou stále „vložena“ přirozená, celočíselná a racionální čísla, každé se svou specifickou interpretací.

Rychlý průvod historií číselných soustav

Otázka existence čísel není jen abstraktní; odráží se také v historii toho, jak se různé kultury naučily počítání a zapisování množstvíNejstarší důkazy o číslování pocházejí z doby kolem roku 7000 př. n. l., kdy se k jednoduchému počítání používaly značky a kosti.

Ve starověkém Egyptě, během První dynastie, byl vyvinut hieroglyfický desetinný číselný systém. Každá mocnina deseti měla svůj vlastní symbol a ty byly Prvky seskupili do desítek.Používal se k praktickým úkonům, jako je výpočet daní, měření zemědělských polí nebo stavba chrámů.

V Mezopotámii používali Sumerové a později Babyloňané šedesátkovou číselnou soustavu, tj. základ 60Jeho složitost spočívala ve velkém počtu symbolů a možných kombinací, ale ukázal se jako mimořádně efektivní pro astronomii a měření času. Ve skutečnosti tento odkaz dodnes používáme v hodinách, minutách a sekundách.

Řekové si vzali egyptskou desítkovou soustavu jako referenci a vyvinuli systém, ve kterém používali písmena jejich abecedy reprezentující číslaAttický systém se však ukázal jako poměrně rigidní a poněkud omezoval rozvoj pokročilé aritmetiky, ačkoli Řekové pozoruhodně zazářili v geometrii a logických důkazech.

Římský systém, který je nám bližší, přiřazoval číselné hodnoty určitým písmenům (I, V, X, L, C, D, M). Ačkoli vypadal jednodušší než ostatní, Nebylo to pozičníDíky tomu bylo provádění složitých výpočtů velmi těžkopádné. Pro pár dat na fasádě budovy to stačí, pro algebru už tolik ne.

Souběžně se v Indii kolem 5. století př. n. l. objevila desítková a poziční soustava. V této soustavě závisí hodnota každé číslice na její pozici a deset jednotek jednoho řádu je ekvivalentních jedné jednotce dalšího vyššího řádu. Tato soustava, která explicitně zahrnovala nula jako čísloUkázalo se to jako neuvěřitelně silné a praktické.

Arabové, kteří byli v kontaktu s kulturami, jako byla hinduistická, řecká a egyptská, přijali a rozšířili tento desetinný poziční systém. Ačkoli mluvíme o „arabských číslicích“, ve skutečnosti Jeho původ je v IndiiByly to islámské národy, které jej přenesly do Evropy, mimo jiné prostřednictvím Al-Andalus. Postupem času tento systém nahradil římské číslice a stal se světovým standardem.

V předkolumbovské Americe vyvinula mayská civilizace mimořádně pokročilý číselný systém, založený na čísle 20 a také poziční. Navíc explicitně rozpoznali nulu. Čísla reprezentovali kombinací tečky a pruhy: tečky pro jednotky a čárky pro seskupování po pěticích. Jeho zacházení s kalendářem a astronomií bylo ohromující přesné.

Celý tento historický přehled posiluje myšlenku, že ačkoli se formy a pravidla mění, Potřeba počítat, měřit a uspořádávat svět je univerzální.Čísla se ve svých různých inkarnacích objevují znovu a znovu všude, kde existuje civilizace, která si chce uspořádat svou zkušenost s prostředím.

Limity systému: Gödel a víra v matematiku

Na konci 19. a začátku 20. století se mnoho matematiků snažilo proměnit matematiku v zcela solidní budova, zbavená rozporůCílem bylo najít konečnou množinu základních axiomů, z nichž by bylo možné odvodit všechny ostatní matematické výsledky pomocí čisté logiky.

Osobnosti jako Henri Poincaré byly skeptické a považovaly tuto ambici za nedosažitelnou, zatímco jiní, v čele s David HilbertByli si jisti, že dokonalého axiomatického systému lze dosáhnout pro aritmetiku a v širším smyslu i pro zbývající odvětví matematiky.

Pak se objevil Kurt Gödel a dokázal dvě věty, které navždy změnily situaci. První z nich, značně zjednodušeně, říká, že v jakémkoli systému dostatečně výkonném na to, aby zahrnoval základní aritmetiku (například Peanovy axiomy), vždy budou existovat pravdivé výroky, které nelze dokázat v rámci samotného systému. Jinými slovy: aritmetika nemůže být zároveň úplná i konzistentní.

Gödelova druhá věta je ještě znepokojivější: ukazuje, že pokud je axiomatický systém, jako je aritmetický, konzistentní (nemá žádné rozpory), pak Tuto konzistenci nelze prokázat zevnitř samotného systému.Pokud by někdo dokázal, že v matematice neexistují žádné rozpory, pouze s použitím jejích axiomů a pravidel, paradoxně by to znamenalo, že systém není koherentní.

Tyto závěry byly někdy interpretovány jako jakýsi „kosmický vtip“: pokud se tolik spoléháme na matematiku jako na konečný nástroj poznání, musíme akceptovat, že v jistém smyslu Musíme také věřit v něco, co nemůžeme dokázat z vlastního matematického rámce.„Existence“ rozumného aritmetického systému bez rozporů vyžaduje minimální akt víry.

Když dáme dohromady celou tuto cestu – od symbolů a kosti Ishango, přes Egypt, Babylon, Indii a Maye, až po teorii množin, Peanovy axiomy, formální konstrukce různých typů čísel a Gödelovy věty – vidíme, že čísla jsou zároveň lidské nástroje a překvapivě robustní strukturyMůžeme diskutovat o tom, zda „existují“ jako abstraktní entity, nebo jako sofistikované konvence, ale je jasné, že formují naše chápání vesmíru a v jistém smyslu nás přesahují: i kdybychom zmizeli, je těžké si představit kosmos, ve kterém by 1 + 1 již nebylo 2.