Komplexní čísla jsou rozšířením reálných čísel používaných při řešení algebraických rovnic. Je to velmi užitečný matematický nástroj pro řešení problémů z různých oblastí fyziky a matematiky. Slovo "komplex" se vztahuje na kombinaci dvou čísel: reálného čísla a imaginárního čísla. Imaginární číslo je reprezentováno písmenem i a je rovno druhé odmocnině z -1. Komplexní čísla lze znázornit ve formě souřadnic na rovině, kde reálné číslo odpovídá vodorovné ose (x) a imaginární číslo odpovídá svislé ose (y).
Komplexní čísla poprvé zavedl italský matematik Gerolamo Cardano v 16. století. Švýcarský matematik Leonhard Euler je však jako první systematicky využil a stanovil pravidla pro jejich manipulaci. Dnes jsou komplexní čísla široce používána v oblastech, jako je fyzika, inženýrství, chemie a biologie.
Aritmetika komplexních čísel je velmi podobná aritmetice reálných čísel. Sčítání a odčítání se provádí stejným způsobem, zatímco násobení se provádí pomocí „věty o součinu“. Věta o součinu říká, že součin dvou komplexních čísel se rovná součtu jejich reálných složek vynásobených dohromady plus součtu jejich imaginárních složek vynásobených dohromady. Jinými slovy, pokud z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i, pak z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b2)i. Dělení je trochu složitější a vyžaduje použití „pravidel konjugace“. Konjugace je proces, při kterém se mění znaménko imaginární složky komplexního čísla. Pokud například z = a + bi, pak jeho konjugát bude z* = a – bi. Pravidla konjugace říkají, že pro jakékoli komplexní číslo z platí z/z* = z*. Tato pravidla se používají ke zjednodušení rozdělení.
Komplexní čísla mohou být také vyjádřena v polární formě. V polární formě je komplexní číslo reprezentováno uspořádanou dvojicí hodnot (r,θ), kde r je „modul“ nebo „absolutní hodnota“ čísla a θ je jeho „argument“. Modul komplexního čísla je definován jako vzdálenost od počátku k odpovídajícímu bodu v rovině. Argument je úhel vytvořený mezi vodorovnou osou a přímkou, která spojuje počátek s bodem odpovídajícím komplexnímu číslu. Polární tvar komplexního čísla umožňuje snadno vypočítat jeho reálné a imaginární složky pomocí následujících vzorců: a = rcosθ a b = rsinθ.
Komplexní čísla mohou být také vyjádřena v exponenciální formě, což vede k tomu, co je známo jako "komplexní čísla v exponenciální formě." V tomto tvaru je komplexní číslo reprezentováno následujícím vzorcem: z = reiθ, kde r je modul čísla a θ je jeho argument. Exponenciální tvar umožňuje snadno vypočítat základní aritmetické operace. Pokud například z1 = reiθ1 a z2 = reiθ2, pak jejich součet bude z1 + z2 = r(eiθ1 + eiθ2). Podobně by jejich součin byl z1z2 = r2ei(θ1+θ2).
Komplexní čísla jsou velmi užitečným matematickým nástrojem pro řešení problémů z různých oblastí fyziky a matematiky. Jejich manipulace vyžaduje jistou míru dovednosti a praxe, ale jakmile si osvojíte jejich základní pojmy, jsou mimořádně užitečné pro řešení algebraických rovnic a dalších matematických úloh.
Původ a definice komplexních čísel
https://www.youtube.com/watch?v=LPowypp4osc
1.1. Definice a původ komplexních čísel.
https://www.youtube.com/watch?v=yBRYiuyvnC8
Jaký je původ komplexních čísel?
Komplexní čísla jsou matematickou konstrukcí, která vyvstává z potřeby rozšířit reálná čísla za účelem řešení algebraických rovnic, které nemají řešení v reálných číslech. Tato konstrukce je založena na myšlence imaginárního čísla, což je číslo, které ve skutečnosti neexistuje, ale které nám pomáhá pochopit a vizualizovat situace, které ve skutečnosti existují.
Jak je definován pojem komplexních čísel?
Komplexní čísla jsou typem čísel používaných v matematice a fyzice. Skládají se z reálné a imaginární části. Imaginární část je číslo označené písmenem i a rovná se druhé odmocnině z -1. Komplexní čísla jsou reprezentována ve formě součtu ve tvaru a + bi, kde a je reálná část a bi je imaginární část.
Jaký je původ členů komplexních čísel reálných imaginárních atd.)?
Termíny komplexních čísel pocházejí z algebry komplexních čísel, kterou zformuloval italský matematik Rafael Bombelli v 16. století. V algebře komplexních čísel je komplexní číslo algebraický výraz, který se skládá z reálné a imaginární části. Reálná část je číslo, které je na stejné pozici jako reálné číslo v rovnici, zatímco imaginární část je číslo, které je na stejné pozici jako imaginární číslo.
Co je komplexní číslo?
Komplexní číslo je číslo ve tvaru a + bi, kde a je skutečná část a bi je imaginární část. Imaginární část lze chápat jako součin reálného čísla a imaginární jednotky, která se označuje jako i.
Jak jsou definována komplexní čísla?
Komplexní čísla jsou definována jako kombinace reálného čísla a čísla imaginárního.
Jaký je původ komplexních čísel?
Komplexní čísla jsou rozšířením reálných čísel a vznikla z potřeby matematického řešení algebraických rovnic, které nelze řešit pomocí reálných čísel. Komplexní čísla poprvé představil v 16. století italský matematik Gerolamo Cardano a od té doby je matematikové používají k řešení rovnic a analýze funkcí.
Proč jsou komplexní čísla důležitá?
Komplexní čísla jsou důležitá, protože představují zobecnění reálných čísel. Komplexní čísla lze použít k modelování fyzikálních jevů zahrnujících imaginární veličiny, jako je elektřina a magnetismus. Lze je také použít ke zjednodušení určitých matematických rovnic.
